学习方法系列丨波利亚解题法,关于如何解题的万能打法

学习方法 | 07-13 10:49 562次 0次

波利亚是大数学家,写过一部经久不衰的畅销书《怎样解题:数学解题的新方法》。这本书不仅适用于天才,也适用于常人,总销量过百万册,有十七种语言版本,是有史以来最畅销的数学书。


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○ 图丨乔治·波利亚


波利亚的方法是开创性的。此前没有人对解决问题的方法进行过专门的研究。


关于波利亚解题法的10条心得:


1、如何用类比推理解数学题,通过研究或回忆一个真正类似的题目是如何被解决的,也许就能在解答眼前的题目时借用一些重要的思路。而所谓真正类似的题目,说的正是那些本质相似的题。

所以,解答眼前题目的方法是先找到通过抽象与眼前题目“表面不同、本质相似”的题目,通过借用这个题目的解答方法,解决眼前之题。

2、波利亚的四步解题法


第一阶段:理解阶段。在这个阶段,人们需要观察和发现问题的核心概念和性质。波利亚说:“你一定要真正理解你的问题——未知的问题是什么?你掌握了哪些数据?”

第二阶段:规划阶段。在这个阶段,人们需要规划出如何解决问题。波利亚说:“发现已有数据与未知问题的关联。”

第三阶段:计划实施阶段。这是一个执行和验证的过程。波利亚说:“看看你能否证明你的想法。”

第四阶段:回顾阶段,或者称为“从解决方案中学习”的阶段。通过观察解决问题的结果和解决问题的过程,人们可以夯实自己的知识,提高解决问题的能力。

3、为了确保真正理解问题,你最好把问题用自己的话换成各种形式反复重新表达。


4、你过往解决问题的经验、已经掌握的知识,这些是思路的来源。你要问自己:有没有解决过与当前相关的问题?当时用的办法现在还能否适用?要不要做以及做哪些调整?


5、要反复提醒自己:每一步都要检查。检查有两种,一种是直觉,直觉是问你自己,这一步是不是一眼看去就是对的?一种是证明,证明是问你自己,能不能严格证明这步是对的?两个都有用,但是两回事。


6、总结是最好的启发时刻。绝不能解决完问题就了事,那就浪费了巩固知识和提升技巧的机会。


7、与四步解题法相对应的,有个完整的提问清单。即使你面对的不是数学题而是人生种种难题,四步解题法及问题清单也极有价值。 


①在理解问题阶段的问题清单是:

未知数是什么?

已知数据(指已知数、已知图形和已知事项等的统称)是什么?

条件是什么?

满足条件是否可能?

要确定未知数,条件是否充分?

或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

画张图;

引入适当的符号;

把问题用自己的话重新讲,反复讲。


在构思解题思路阶段的问题清单是:

以前有没有见过相似或相关问题?

以前用过的方法这次能否适用?

不相似的地方是否需要引入辅助假设?

条件有没有用足?

能不能构造比现在更简单一点点的问题,先解决简单的?

如果微调已知数、条件,甚至改变求解的未知数,能否找到解题线索?


 在执行解题思路阶段的问题清单是:

每一步都检查过了吗?

能看出来这一步是对的吗?

能证明这一步是对的吗?


 在回顾总结阶段的问题清单是:

你能否检验这个论证?

论证过程检查了吗?

能否用另外的方法推出结果?

能否将方法用于解决其他题目?


8、波利亚认为,这些问题清单:

必须要系统、自然、明显、符合常识,防止打断形成思路的进程;

必须要反复问,把它内化成肌肉反应;

必须要有一般性,不仅适用于眼下的问题,还能适用于所有情境;

必须要从一般性问题逐渐引到具体问题,激活思路,再回到一般性问题上来,如此反复迭代。


9、如果你无法解决某个问题,就去解决另外一个简单点的问题好了—去找这个简单的问题吧。


10、解决问题与学习活动类似,是一种方法、一个流程。

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