数学发展史上出现过的三次危机的本质是什么?

学习方法 | 04-25 11:02 2851次 3次

这一节课,小编要讲讲数学,大家认真读。数学,算是所有科目中比较难学的一个科目,估计很多同学对数学是深恶痛绝!


你发现没有,对有些人却不一样(我们不一样,不一样!),他们一点都不觉得数学难学,反而觉得它很有趣。为了证明数学的有趣,小编给大家举个例子:

1/3=0.333333……(无限循环)对于这个等式,大家都觉得没问题吧?小编知道你在想:

“这简直就是小学的知识,太简单了”、“这等式,闭着眼睛都知道它是正确的”、“这么简单的题,就不要侮辱我们的智商了,来,拿出点高难度的来!”


那么继续:

(1/3)*2=0.6666666……(这题,没问题吧?)

那接下来,有趣的事情发生了:

(1/3)*3=0.9999999……(无限循环)

(1/3)*3=1

1=0.999999……(无限循环)

大家看到没?相等了。不是1≈0.999999…吗?怎么变成了相等?


关于1=0.999999……还是1≈0.999999……,这两个之间,到底是怎么回事?……好吧,小编也不能给出解释。



目前,对于这个问题,自然界有两个相反的说法,一个是0.999999循环,在自然界中,是根本不存在的,宇宙中没有任何一个实际物体,具有0.99...99这个数值……

另外一个猜测是:1的无穷次方等于1;而0.9999.....的无穷次方等于0,所以两者不相等……

很显然,这两个都是符合我们如今的数学认知,而且还相互矛盾的!这就更加让人难以明白,到底是等于,还是约等于,还是差距非常大!



这算是数学的一个悖论!但是!现在不明白,不等于以后不明白!数学,是一个发展的学科!


小编在这里,跟大家分享一下,数学的三次危机,都是因为数学发展过程中不够完善,差点断送了数学这个学科。


 

无理数的发现


在公元前五世纪以前,数学学科毕达哥拉斯学派主张【“数”是万物的本原、始基】,而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比,有理数理论成为占统治地位的数学规范……


毕达哥拉斯


小编这里先复习一下【有理数】的概念,它是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。这个有理数,是那个时候的数学的理论基石,不可动摇。

结果,在公元前580~568年间,一个毕达哥拉斯学派内部的一个成员希帕索斯,有一天突然发现:边长为1的正方形的对角线长度(根号2)既不是整数,也不能用整数之比来表示。




这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条,同时也冲击了当时希腊人的普遍见解,因此它直接导致了数学认识上的“危机”,动摇到了数学的根基。


这一悖论导致了Hipasus被毕达哥拉斯学派追杀,最终葬身大海的悲剧。

 


希帕索斯的这一发现,史称“希帕索斯悖论”,从而触发了第一次数学危机。


为什么说危机呢?

因为这个数学悖论的出现,导致了毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们对无理数的问题基本上采取了回避的态度,放弃对数的算术处理,代之以几何处理,从而开始了几何优先发展的时期。在此后两千年间,希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。


也正是因为这次数学悖论的出现,证明了人的直觉和经验不一定靠得住,而推理和证明才是可靠的,这就导致了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立……

 

过了两百年,希腊数学家欧多克斯和阿契塔斯两人给出了“两个数的比相等”的新定义,建立起一套完整的比例论,其中巧妙避开了无理数这一“逻辑上的丑闻”,并保留住与之相关的一些结论,缓解了这次数学危机。

 

然而,“世界万物皆为整数或整数比”的错误并没有解决,欧多克斯只是借助几何方法,直接避免无理数的出现。

 

直到1872年,德国数学家对无理数作出了严格的定义,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学中合法地位的确立,才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。


好了,这个第一次数学危机就讲到这里,回到1=0.999999……还是1≈0.999999……这个问题上来,就像这个根号2的出现动摇了当时的数学体系的情况一样,不相信根号2的存在……


而现在,有人不相信0.9999……无限循环不存在,不用担心,当未来数学发展到一定的程度时,它就存在了,也许到时候,会出现一个新的数学概念,1=0.999999……还是1≈0.999999这个问题,就像是当初的【无理数】概念一样……

贝克莱悖论


17世纪末,牛顿和莱布尼茨分别独立地建立了微积分方法,成为解决众多问题的重要而有力的工具,并在实际应用中获得了巨大成功。

 


微积分是初等和高等数学的分水岭。莱布尼茨说:从人类有数学开始到牛顿时代,牛顿的贡献至少一半以上!尽管如此,从本质上说,还是科学技术的发展催生了微积分 。

 

17世纪,科学技术发展迅猛,向数学提出四类问题:瞬时速度问题;曲线的切线问题;函数极值问题;曲线长度和图形面积问题。以上四类问题吸引了大批数学家,产生了新的数学工具:坐标解析几何。


微积分的建立标志着数学从常数数学时代进入变数数学时代,推动了整个科学技术的发展。

例子:牛顿-莱布尼茨求导数

y = x2

y + dy = (x+dx)2 = x2 + 2xdx + (dx)2

从而有dy = 2xdx + (dx)2

两边除以dx得:dy/dx = 2x + dx

因为dx是无穷小量,故yˊ= dy/dx = 2x .

然而,微积分学产生伊始,迎来的并非全是掌声,在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责,原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上,而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。

 

1734年爱尔兰主教贝克莱提出贝克莱悖论:无穷小量 dx 既是0又不是0!

无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?这引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。


如果解不到这个问题,所谓无坚不摧的微积分,便无立足之地,一切由微积分所得出来的完美的数学和物理学上的结果也付诸流水,所以数学史上称之为“第二次数学危机”。


 数学是讲究严谨的学科,数学家必不逃避问题,面对困难,接受挑战,是数学家的不朽格言。


化解这一悖论的重大科学发现是极限论,它使得微积分得以严密化。


1820年,另一位伟大的数学家柯西(1789–1857),重新建立微积分学的基础——数学分析。


数学分析是透过一套严格的“数学语言——ε–语言”来说明甚么是变量、无穷小和极限等的概念和定义,解决了甚么是既不是零又不是非零的问题,而这次的危机亦安然渡过,并为数学的大家庭增添了一位成员“数学分析”。

 

魏尔斯托拉斯进一步改进柯西的工作,给出极限的 e--d 语言定义:

如果任给 e > 0,存在一个正数 d,使得 | x - x0 | < d 且 x 1 x0 时,均有| f(x) - A | < e,则称f(x)在 x0 处有极限 A。

经过数位杰出数学家对于微积分学基础概念的重建后,第三次数学危机才终于得以解决。

 

罗素悖论


19世纪后期,高等数学(微积分),线性代数(多项式,矩阵,行列式),几何学(射影几何)已经发展得十分完备; 


一些新的数学分支,如泛函分析,抽象代数,拓扑学,等等,开始出现;


康托建立了集合论-----现代数学的基础

 

1900年庞加莱称:数学的严格性,看来直到今天才可以说是实现了。正在此时,罗素定义的集合R:所有不以自己为元素的集合所组成的集合R = { x | x ? x } 。

 

这个漏洞就源于英国数学家罗素提出的一个悖论:所有不包含自身的集合的集合,它到底包不包含自身呢?如果它包含自身,那么它就不是不包含自身的集合,所以也就不是所有不包含自身的集合的集合的元素。


伯特兰·罗素(Bertrand Russell,1872.5.18-1970.2.2)


如果它不包含自身,那它理应是所有不包含自身的集合的集合的一个元素。这样的一个集合,包不包含自身,都必将引发矛盾。

 

对于罗素悖论,有一个通俗的故事可以解释,就是“理发师悖论”。

 

最近,有一位手艺高超的理发师,他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸,那么,他给不给自己刮脸呢?


如果他不给自己刮脸,他是个不给自己刮脸的人,他应当给自己刮脸;如果他给自己刮脸,由于他只给不给自己刮脸的人刮脸,他就不应当给自己刮脸了。他应该如何呢?


罗素悖论一经提出便在当时的数学界与逻辑学界内引起了轩然大波,直接导致了第三次数学危机!

 

弗雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege,1848.11.8-1925.7.26)


由于这个悖论,费雷格的著作《算术原理》中的第五公理竟然是错的!他感觉算术的基础发生了动摇。

 

最后只能在自己著作的末尾写道:“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”


那么,这次危机是如何得到解决的呢?

 

事实上,为了解决罗素悖论,演化出逻辑主义,直觉主义,形式主义等数学学派,产生了集合论的公理化。人们注意到,必须对康托的朴素集合论加以限制,限制到足以排除悖论,同时保留所有有价值的东西。 


庞加莱说,我们建造了一个围栏来放养羊群,以防止它们被狼侵害,但我们不知道在围栏中是否已经有狼。

 

直到1931年,哥德尔提出了一系列不完备定理并予以证明:

 

①任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在至少一个命题:它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。

 

②如果一个形式系统含有初等数论,当该系统自洽(所有公理都不互相矛盾)时,它的自洽性不可能在该系统内证明。

至此,这场关于数学基础的争论终于结束,同时也宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的。


后记


数学是讲究严谨的学科,数学家必不逃避问题,面对困难,接受挑战,是数学家的不朽格言。


历史上的三次数学危机,虽然给人们带来了极大的麻烦,但是危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷,并不断去完善,由此,数学也会得到新的发展,甚至会有革命性的的变革!

 

事实上,悖论的产生往往预示着科学的发展,可以说,悖论是科学发展的产物,是科学发展源泉之一。


第一次数学危机使人们发现无理数,建立了完整的实数理论,欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系;


第二次数学危机的出现,直接导致了极限理论、实数理论和集合论三大理论的产生和完善,使微积分建立在稳固且完美的基础之上;


第三次数学危机,使集合论成为一个完整的集合论公理体系(ZFC系统),促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。

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